- 作者：Crypto_xu_yan
- 編譯：DA Trader Association
- 撰寫日期：2023 / 06 / 07
前言
比特幣的歷史報酬率在機率上如何分佈一直是一個值得爭論的話題，特別是這類的統計機率分配被應用在許多金融資產訂價及分析的同時，比特幣又是一個極為特殊的存在。這篇文章將簡單介紹關於 BTC 歷史報酬率機率分佈的意義以及相關研究方式與結果。
何謂常態分配
在介紹今天的話題時，務必先簡介常態分佈的定義。常態分配，又被稱為高斯分配或正態分配，是統計學中一種常見的概率分配。它在自然界和許多社會現象中都具有重要的應用。常態分配的特點是對稱且呈鐘形曲線，其機率密度函數具有以下該圖形式。
μ表示平均值，σ表示標準差，e表示自然對數的底數。
常態分配的平均值（μ）代表分布的中心位置，標準差（σ）則代表分布的變異性。根據常態分配的性質，約有 68% 的數據落在平均值加減一個標準差的範圍內，約有 95% 的數據落在平均值加減兩個標準差的範圍內，約有 99.7% 的數據落在平均值加減三個標準差的範圍內。這三組數字相信讀者們在國高中的數學課上多少都會有印象，此即所謂的經驗法則（Empirical Rule )
總上所述，由於常態分配的性質和廣泛的應用，許多自然和社會現象都可以近似被視為常態分佈。例如人的身高、體重和智力測驗通常遵循常態分佈，並且對於理解和分析各種現象的變異性具有重要意義。
附註：對於常態分配的簡單理解也推薦參考 YT 李永樂老師的這部影片 「考上清華和中500萬彩票哪個更難？李永樂老師講解正態分布的應用」
常態分配對金融資產及BTC的意義
在傳統金融領域，許多實證研究發現股票市場的日回報和利率的變動被認為是近似於常態分佈的，然而常態分配對於 BTC 及各類金融資產還有許多意義，我稍微統整了三大點。
❶波動性預測：常態分配可以用來描述金融資產和 BTC 的波動性。通常，波動性是指資產價格的變動幅度。如標準差或波動率，這些指標能幫助評估風險和制定交易策略。
❷統計分析：金融資產和 BTC 的收益率通常被假設為服從常態分配。在進行統計分析時，這種假設可以用於計算信心區間、假設檢驗和相關統計量等。例如，可以使用常態分配來計算投資組合的預期收益率和風險，或者進行交易策略的回測和模擬。
❸隨機模擬：基於常態分配的隨機模擬可以用於金融風險管理和投資評估。通過生成符合常態分佈的隨機數據，可以模擬不同市場情境下資產價格的變動，從而評估投資組合的價值和風險。
BTC的歷史報酬率
上圖為 BTC 自 2011 年起的盈利天數，在將近 3500 天中，高達 87.3 % 呈現盈利狀態。若是單看這張圖可能會覺得 BTC 在歷史日報酬的機率分配上會不太均勻，因此有人將 BTC 的價格資料轉換成機率分配圖，形成下圖的分配狀態。一項有趣的發現是，BTC 的長期報酬率看似美好，但日報酬率卻只有區區 0.2%，側面顯示了 Daytrading 的難度與長期持有的複利幅度。
附註：該圖的轉換方式（參考@bitcoinfool)
①下載 Yahoo Finance BTC 價格資料
②使用 R 語言的 DPLYR 套件添加新變量
③使用 ggplot 繪製直方圖
④於 Rhino 中調整圖形
更深入的研究方式
在前述的內容介紹了常態分配的概念以及其對BTC歷史報酬率的意義，不過在機率分配上，其實有更適合的分配模式適合 BTC 這類特殊的金融資產。
接下來的內容將參考 Swan Capital 的《Examining Historical Returns and Volatility in Bitcoin》一短論文進行更詳細的說明。
什麼樣的機率分配才最適合BTC歷史回報率？
經過該團隊分析 2010 – 2023 年的價格數據，BTC 的歷史報酬率是不適合用常態分佈來呈現的，與我們上述的股票日報酬率及利率的變動有所差別。原因在於比特幣報酬率的偏態量數（skewness ) 與峰態量數 ( kurtosis )
簡單來說，偏態量數是用來觀察資料分佈是否對稱，而峰態量數則可以觀察資料分佈是否具有厚尾，即是否有離群值。如下圖顯示，BTC Return 的偏態量數達到 2.8 左右，顯著偏離對稱性的 0，而峰態量數高達 104，離常態分佈（bell shaped ) 的3偏離非常多，代表有許多離群值影響，這邊也不難聯想到 BTC 的高波動性造成的報酬率變動。（Ex:如 2023 的 Q1漲幅）
而對比 S&P500 指數的長期報酬分佈來看，偏度大約為 -0.3，峰度為 10，顯示了分佈更對稱、離群值更少的穩定市場。
該團隊認為最適合的機率分配為 generalized hyperbolic（廣義雙曲線分佈），這是一種可以呈現各式機率分佈形狀的模式，意思是不需要對稱也能處理，並且還能有效表現出離群值數據，很適合使用在許多金融產品身上。對於我們一般投資人而言，勢必只需要了解它的重要性何在即可，不需要過度糾結背後原理。
廣義雙曲線分佈在 BTC 報酬分布上呈現的結果
理解BTC報酬率的分佈有什麼樣的用意？
接下來是本篇文章中最主要的部分，在理解完 BTC 報酬率的機率分佈後，最重要的就是能夠進行蒙地卡羅模擬（Monte Carlo simulation）
蒙地卡羅模擬是一種統計模擬方法，通過隨機抽樣和重覆實驗來估計未來事件的機率和可能的結果。在金融領域，蒙地卡羅模擬常用於模擬投資組合、期權定價、風險評估等問題，而這邊的研究方向自然是針對 BTC 的價格走勢及可能價值做估計。以下我統整了針對 BTC 報酬率進行蒙地卡羅模擬的六步驟，讓讀者們感受大致的框架與邏輯。
❶收集歷史數據：收集 BTC 的歷史價格數據，包括每日或每月的收盤價。
❷計算報酬率：根據歷史價格數據，計算每個時間段的報酬率。
❸建立模型：基於歷史報酬率數據，建立一個統計模型來描述 BTC 的未來報酬率分布。
❹設定參數：根據模型的參數，設定模擬的時間範圍和模擬次數。時間範圍可以是未來的若幹天、月或年，模擬次數越多，結果越準確。
❺進行模擬：使用設定的模型和參數，進行蒙特卡羅模擬，生成大量的隨機路徑，模擬未來的 BTC 報酬率走勢。
❻分析結果：根據模擬生成的數據，可以對未來的 BTC 報酬率進行統計分析，計算期望收益率、風險指標（如標準差、價值 -at-Risk 等），或者繪制報酬率的概率分布圖等。
聰明的讀者們可能也能發現，前面建構出來的機率分佈就是為了第三步驟的模型建立，這也會是整個模擬的關鍵之一。而我也透過工具進行了一次蒙地卡羅模擬，稍加設定參數後，對於 BTC 未來一年的價格認為會達到 5.5 萬美元左右的水準，供各位參考。
蒙地卡羅模擬結果
額外特殊發現
該團隊也發現，採用 GARCH 模型對 BTC 報酬率進行測試，會有 autocorrelation 的現象，簡單理解就是 BTC 過去的報酬是會確切影響未來的，這一點是很多估值模型會忽略的部分。
附註：
GARCH 模型是指廣義自回歸條件異方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）。它是一種用於分析時間序列數據中波動性變化的經濟計量模型，用於描述金融市場中資產價格和指數的波動性變化。
自相關性（Autocorrelation）是指一個時間序列變量與其自身在不同時間點上的相關性。在統計學和時間序列分析中，自相關性是衡量時間序列數據中觀測值之間的依賴關系和相關性強度的指標。
結論
比特幣一直以來都是一個極為特殊的金融資產，有著高度的變化，卻也走出自己獨特的樣貌。一般的投資者可能也不曾思考及研究過這類透過機率分佈及模擬進行估值的方式。希望透過這篇文章讓各位讀者有初步的瞭解及體驗。
還是需要強調，市場上會有這麼多的估值模型，就是因為沒有一個是準的。因此謹慎且開放性的思考才是最重要的關鍵，切勿過度執著。
另外本篇涉及了不少計量統計學的知識，在撰文過程中已盡可能使用較白話的方式說明，並且有蠻多專有名詞翻譯上可能也有疏漏（太多都是原文書上的名詞定義）若有誤述或是表達不清楚的部分歡迎與我聯繫。
TG : @MingYang0901
完整論文連結：Bitcoin Historical Returns Analysis (nakamotoportfolio.com)
模型程式碼開源：https://github.com/pxsocs/nakamoto_code/blob/main/bitcoin_distribution.ipynb
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